完全数の性質とは？ - メディカル・動植物・古生物を考える

完全数（かんぜんすう）とは、その数自身を除く正の約数（自然数で、その数を割り切れる数）の和が、元の数自体と等しくなる自然数のことです。完全数は数学の中でも特に古くから知られ、興味深い性質を持つ数の一つとされています。

歴史

完全数に関する研究は古代ギリシャ時代にまで遡ります。ユークリッドの『原論』では、完全数に関する命題が記されており、2のべき乗に関連する形で完全数を生成する方法が紹介されています。これは後にユークリッド＝オイラーの定理として知られるようになりました。

定義

ある自然数 $�$ が完全数であるためには、 $�$ の約数のうち、 $�$ 自身を除いたものの和が $�$ と等しくなければなりません。数式で表すと、 $\sum_{\begin{array}{c} � ∣ � \\ � < � \end{array}} � = �$ ここで、和は $�$ のすべての正の約数 $�$ について取りますが、 $�$ 自身は含みません。

例

最小の完全数は 6 で、その約数は 1, 2, 3, 6 です。1 + 2 + 3 = 6 となり、6 自身を除く約数の和が 6 に等しいため、6 は完全数です。
次に小さい完全数は 28 で、その約数は 1, 2, 4, 7, 14, 28 です。1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 となり、28 も完全数です。

ユークリッド＝オイラーの定理

ユークリッドが発見し、オイラーが一般化したこの定理によると、ある形式の素数を使って完全数を生成することができます。形式は次の通りです： $� = 2^{� - 1} (2^{�} - 1)$ ここで、 $2^{�} - 1$ が素数（メルセンヌ素数）であれば、 $�$ は完全数です。例えば、 $� = 2$ のとき、 $2^{2} - 1 = 3$ は素数であり、 $� = 2^{2 - 1} (2^{2} - 1) = 6$ は完全数です。